微分中值定理

罗尔定理

前置知识

费马引理：

在f(x)在x0及其邻域有定义且在x0处可导的前提下，如果f(x)小于等于f(x0）（x属于U（x0））则f(x0)导数为0

相当于说x0是极大极小值，周围的都小于或大于它，所以有驻点

驻点：

导数为零的点

但不一定是极值点

定义

若满足：

在[a,b]连续
在(a,b)可导
f(a)=f(b)

则：

至少存在克赛属于(a,b),使f(克赛)导数=0

几何理解

走过去一定会走回来

拉格朗日中值定理

定义

若满足：

在[a,b]连续
在(a,b)可导

则(a,b)至少有一点克赛，使f(b)-f(a)=f’(克赛)(b-a)

几何理解

斜着走过去一定会存在平行于直接走过去的斜率

注意的是，它比罗尔定理少了个f(a)=f(b)的条件，从几何上来理解就是把坐标参考系替换成了任意的直线

柯西中值定理

定义

若存在f(x)和F(x)满足：

在[a,b]连续
在(a,b)可导
任意的x属于(a,b)，F’(x)不等于0

则：

至少存在一点克赛，使

洛必达法则

定义

若：

x->a或x->无穷时，f(x)->0，F(x)->0
在a的去心邻域内f’(x)与F’(x)存在且F’(x)不等于0
lim~~x->a~~（f’(x)/F’(x)）存在(或无穷大)

定理三是实战中最需要考虑的条件，如果导数之比不存在，则这个办法就没法用了

则：

论如何用柯西证洛必达：

因为洛必达条件中并未对a点时f(a)和F(a)的取值有所要求，所以假设他们两都为0

泰勒公式

前导与逻辑

已知

化简之后得到：

既然有一次表达式，那么要更精准的话，理所当然的会出现多次表达式，所以泰勒公式就来啦！

如何推导？

由前导猜想得来：

那么不妨令x0=x，则a0=f(x0)，两边同时求一次导，求两次导…求n次导，分别求出a1,a2…

本体

这个Rn是高阶无穷小，是约等于到等于的办法，不是考试重点

麦克劳林公式

其本质就是x0为0时的泰勒公式，其优化了高阶无穷小的表达形式，真巧妙 =v=

拓展

无穷小的等价替换的本质就是泰勒公式在零处的展开

关系梳理

罗尔定理两点同高，拉格朗日一个函数，柯西中值定理涉及两个函数，所以柯西的泛用性是最强的，从柯西很容易推出拉格朗日，从拉格朗日很容易推出罗尔定理，反之不好推。