不定积分

定义

F’(x)=f(x) => F(x)是f(x)的一个原函数

格式如下

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原函数存在定理:连续一定有原函数()

性质

1. 与变量无关的量可以提出被积函数外

2. 只有相加相减能分开积分,相乘相除不行

第一类换元积分法(凑d)

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第二类换元积分法(换元)

1. 先换元,别忘记换d里面的变量,积出来

2. 最后解出来一个形式,再换回去

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分部积分法

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放d的优先级

指数>三角函数>幂函数

如果把x和e^x^的优先级反过来的后果如下

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出现与要求的数相同的数

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有理函数的积分

若面临这种情况

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则判断m与n大小

若m大于等于n,则通过短除法使其变成 m小于n 的形式
若m小于n,则分类讨论:

分子常数,分母一次

凑ln|x|+c

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分子常数,分母二次,可因式分解

式子拆成乘法拆成分式减法触发不定积分性质,凑ln绝对值

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分子常数,分母二次,不可因式分解

分母配方并提常数成 关于x的平方式子加1 的形式,凑arctanu

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若后面的常数不是加法而是减法,就凑出平方差从而又变为第二种

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分子一次,分母二次

用第一类换元积分法消去分子的一次,d里面凑成分母

一开始是

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后面要凑成

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最后变成这样,就都是学过的知识了

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分子常数,分母高次

用因式分解换成乘法,拆成分式加法,最后用待定系数法

待定系数法设置格式如下(一次分母设常数分子,二次分母设一次分子)

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再合并分式,使分子加起来等于1,从而列出ABC的关系式方程,解方程即可

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代回去,触发不定积分性质,变成前几种方法的格式了

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分子二次,分母高次

因式分解换成乘法,拆成分式加法,最后用另类的待定系数法解题

待定系数法设置格式如下(涉及元素的每个次方作为分母写一遍)

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神奇之处来了

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式子不能拆!!!

直接代入x的不同值,从而解出ABC的值,再代回去,秒了

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