多元函数的基本概念

区域

区域的前提引入

内外点

前提引入

  • 平面点集：坐标屏幕具有性质P的点的集合

  • 邻域:

    ​ 一元领域，有2块区域（数轴左右）

    ​ 二元领域，则呈圆形

    ​ 记作U（p0，sigma）

    三维是个球 -v-

定义
  • 内点

若存在点P邻域U（P）属于E，则称P为E的内点

  • 外点

若存在U（P）交E=∅，则称P为E的外点

  • 边界点

若任意U（P）既含E中内点又含不属于E的点，则称P为E的边界点

  • 聚点

若对任意给定的sigma，点P的去心邻域内总有E中的点，则称P为E的聚点

  1. 内点一定是聚点
  2. 边界点是聚点

上述定义中的存在与任意是很有讲究的，如果按自然语言来说内外点的话，其实是跟极限这个概念一样难以说清楚的，这里的数学定义体现了一种数学严谨且美妙的定义风格

开集和闭集

  • 开集

若点集E的点都是内点，则称E为开集

  • 闭集

如果点集E的边界属于E本身（边界不是虚线），则称E为闭集

连通

如果点集E内的任何两点，都可以用折线连接起来，且该折线上的点都属于E，那么称该E为连通集

做一个生动的比较。想象你在一片森林里，这片森林就是函数的定义域。连通就意味着，无论你在森林的哪个位置（点），你都能走（连续的路径）到森林的任意其他位置（点）。同样，非连通的定义域，就好像是由独立的小岛构成的群岛，在岛与岛之间没有直接的交通工具可以连通。

非连通的开集是存在于拓扑空间中，这种开集包含至少两个不相交的开集。也就是说，非连通开集是无法通过一个连续的路径链接的两个或更多的独立开集的结合体。

一个直观的例子是在二维平面上考虑两个开圆盘（记住，开圆盘不包含其边界），其中一个圆心在原点，另一个圆心位于点(10,0)。这两个开圆盘都是开集，而且这两个圆盘没有任何交集（因为它们的边界并不包括在内），所以它们的并集就构成了一个非连通的开集。换句话说，这个开集是由在平面上两个不相交的开集组成的，其中一个开集中的点无法通过一个完全位于该开集中的连续路径来到达另一个开集中的点。

区域的定义

开区域（又称区域）

指连通的开集

闭区域

指开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域

注意，还存在着既不是开区域又不是闭区域的“非区域”

多元函数的概念

二元函数

基本概念

z=f（x，y），（x，y）属于D

其中点集D称为该函数的定义域，x和y称为自变量，z称为因变量

二元函数的极限（二重极限）

对于二元函数f(x, y)，我们通常会讨论当点(x, y)趋近某个特定点(a, b)时，函数的极限值。这个概念和一元函数的极限非常相似，都是描述函数值随着自变量变化时的行为。

定义

我们说当(x, y)趋近(a, b)时, f(x, y)的极限为L

记做 $ lim_{(x, y) -> (a, b)} f(x, y) = L $

意味着如果(x, y)足够靠近(a, b)，那么f(x, y)将会无限逼近L。

这里的“足够靠近”并不需要(x, y)实际到达(a, b)，而是说我们可以通过任意小的改变(x, y)使得f(x, y)足够接近L。这允许我们探讨在(x, y)在函数未定义的点(a, b)的极限。

未完待续