微分方程

这一章很有意思，不同于前几章的“基础”，这一章更像是介绍“基础之上的情况”，就是各种各样的可能以及其各种各样的解法

而微分方程则是指y，y‘，y’‘等导数“同台表演”的方程（和物理学很有关系）

所以核心思想就是，通过变形代换等手段凑出能够积分的形式，再积分得到能解的方程，再解方程

微分方程的基本概念

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数

微分方程解出来的就叫解

若解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则该解称为通解（可以用线性无关的特性记忆）

因为通解的常数并不是确定的值，所以需要题目给定“当

x=2，y=2，y’=1”之类的条件，这类条件被称为初值条件

因为有初值条件和通解，所以代入后能得到一个特解（特解是无穷多个的，因为常数不确定）

这一节的核心在于凑能积分的形式，是所谓微分方程的基础

原本我们所学的是y‘，但实际上y’ = dy / dx，这也就是为什么叫微分方程，而不是导数方程，因为在微分的形式下进行分离x和y（自变量和因变量），再对两边进行积分，最终能还原到我们熟悉的形式进行方程的求解

上文的分离变量型会遇到一种情况，就是无法分离成g(y)和f(x)的时候（换句话说就是xy粘连在一起了分不了）观察次数，如果是每一项都齐次的话

比如xy和y^2^就是齐次的

那就把dy/dx放在一边，另一边是一个分数，可以上下同除某个东西（具体情况得具体分析），得到一个类似这样的

把y/x看做一个整体，用u代换掉

这里的目的是为了让y和x粘连在一起的东西变成一个因变量，这样就可以看做u和x的微分方程了

利用y/x=u即y=ux这一点我们可以对两边求导，最终会得到dy/dx=xxx这么一个式子

xxx是关于du和dx的式子

最后再将上图等号左边的dy/dx替换成xxx，左右只剩du，dx，u，x，且不粘连，那么最终又变成了可分离变量的微分方程，最后得出原G(u),F(x)后，只需把u=y/x代回即可

他长这样

若Q(x)为0，则称该方程齐次

若Q(x)不为0，则称该方程非齐次

未完待续…