西风魔镜

多元函数的基本概念区域区域的前提引入内外点前提引入 平面点集：坐标屏幕具有性质P的点的集合 邻域: ​ 一元领域，有2块区域（数轴左右） ​ 二元领域，则呈圆形 ​ 记作U（p0，sigma） 三维是个球 -v- 定义 内点 若存在点P邻域U（P）属于E，则称P为E的内点 外点 若存在U（P）交E=∅，则称P为E的外点 边界点 若任意U（P）既含E中内点又含不属于E的点，则称P为E的边界点 聚点 若对任意给定的sigma，点P的去心邻域内总有E中的点，则称P为E的聚点 内点一定是聚点 边界点是聚点 上述定义中的存在与任意是很有讲究的，如果按自然语言来说内外点的话，其实是跟极限这个概念一样难以说清楚的，这里的数学定义体现了一种数学严谨且美妙的定义风格 开集和闭集 开集 若点集E的点都是内点，则称E为开集 闭集 如果点集E的边界属于E本身（边界不是虚线），则称E为闭集 连通如果点集E内的任何两点，都可以用折线连接起来，且该折线上的点都属于E，那么称该E为连通集 做一个生动的比较。想象你在一片森林里，这片森林就是函数的定义域。连通就意味 ...

离散数学引子数学上的真理相比于其他领域的真理更具有客观性 数学证明的定义就是对一个命题的验证，从一组公理出发，通过一系列逻辑推论得出 命题是对或错的陈述 公理是被假定正确的命题 一组公理最好是一致且完整的，不过这并不容易找出 在数学上有许多命题，以及其逻辑关系，有些命题可能我们觉得没必要证明，但实际上对计算机的很多问题有大的帮助 eg.计算机密码 已知命题：n的平方加n加41是质数 当我们列举前39个自然数时，得出的都是质数，n=39时，得出的1601依然是质数 那么这个命题是对的吗？ 其实不是，从40开始这个命题就不成立了，n=40得出的数是41的平方，是质数 这个命题有一部分包括了因式分解的事情，而因式分解正是计算机破译密码的载体 学习离散数学“最终”目的是为了学会数学建模，利用他人和自己的数学模型来解释一些事物，解决一些问题

不定积分定义F’(x)=f(x) => F(x)是f(x)的一个原函数格式如下https://cdn.jsdelivr.net/gh/MRLOVEllletter/my-image-host@master/ 原函数存在定理：连续一定有原函数() 性质1. 与变量无关的量可以提出被积函数外2. 只有相加相减能分开积分，相乘相除不行第一类换元积分法（凑d） 第二类换元积分法（换元）1. 先换元，别忘记换d里面的变量，积出来2. 最后解出来一个形式，再换回去 分部积分法 放d的优先级指数>三角函数>幂函数 如果把x和e^x^的优先级反过来的后果如下 出现与要求的数相同的数 有理函数的积分若面临这种情况 则判断m与n大小若m大于等于n，则通过短除法使其变成 m小于n 的形式若m小于n，则分类讨论：分子常数，分母一次凑ln|x|+c 分子常数，分母二次，可因式分解式子拆成乘法拆成分式减法触发不定积分性质，凑ln绝对值 分子常数，分母二次，不可因式分解分母配方并提常数成 关于x的平方式子加1 的形式，凑arctanu 若后面的常数不是加法 ...

定积分前导为了求曲边梯形的面积，我们在ab两点中间插入若干分点， 分成若干个小长方形（不一定间距相等） 得出：$$\lambda是\Delta x里面最大的那个，\xi 是区间的某一点$$ 定义$$f(x)在[a,b]有界，在[a,b]上任意插入分点，分成n个小区间，\Delta x_1 \Delta x_2 \Delta x_3 … \Delta x_n , 任取一点\xi _i ，$$ 则： 定积分只与积分区域和积分函数有关，和积分变量无关 定积分有正有负，且可抵消 性质 连续必可积 函数有界且是有限个间断点，那么可积 $$b=a时，\int _a ^a f(x)dx=0$$ $$\int _a ^b f(x)dx=-\int _b ^a f(x)dx$$ 定积分也可以拆成加法，且常数也可以提出来 ==基于面积加减原理，从几何能归纳出一套代数的算法，这种算法非常类似向量的加减法== 推论： 它的逻辑是：“|正数加负数| ”小于等于 “|正数|加|负数|之和” 推论： 推论 ...

微分中值定理罗尔定理前置知识费马引理：在f(x)在x0及其邻域有定义且在x0处可导的前提下，如果f(x)小于等于f(x0）（x属于U（x0））则f(x0)导数为0 相当于说x0是极大极小值，周围的都小于或大于它，所以有驻点 驻点：导数为零的点 但不一定是极值点 定义若满足： 在[a,b]连续 在(a,b)可导 f(a)=f(b) 则：至少存在克赛属于(a,b),使f(克赛)导数=0 几何理解走过去一定会走回来 拉格朗日中值定理定义若满足： 在[a,b]连续 在(a,b)可导 则(a,b)至少有一点克赛，使f(b)-f(a)=f’(克赛)(b-a) 几何理解斜着走过去一定会存在平行于直接走过去的斜率 注意的是，它比罗尔定理少了个f(a)=f(b)的条件，从几何上来理解就是把坐标参考系替换成了任意的直线 柯西中值定理定义若存在f(x)和F(x)满足： 在[a,b]连续 在(a,b)可导 任意的x属于(a,b)，F’(x)不等于0 则：至少存在一点克赛，使 洛必达法则定义若： x->a或x->无穷时，f(x)-& ...

微分方程 这一章很有意思，不同于前几章的“基础”，这一章更像是介绍“基础之上的情况”，就是各种各样的可能以及其各种各样的解法 而微分方程则是指y，y‘，y’‘等导数“同台表演”的方程（和物理学很有关系） 所以核心思想就是，通过变形代换等手段凑出能够积分的形式，再积分得到能解的方程，再解方程 微分方程的基本概念微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数 微分方程的解微分方程解出来的就叫解 通解若解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则该解称为通解（可以用线性无关的特性记忆） 初值条件因为通解的常数并不是确定的值，所以需要题目给定“当 x=2，y=2，y’=1”之类的条件，这类条件被称为初值条件 特解因为有初值条件和通解，所以代入后能得到一个特解（特解是无穷多个的，因为常数不确定） 可分离变量的微分方程 这一节的核心在于凑能积分的形式，是所谓微分方程的基础 原本我们所学的是y‘，但实际上y’ = dy / dx，这也就是为什么叫微分方程，而不是导数方程，因为在微分的形式下进行分离x和y（自变量和因变量），再 ...